E в соответствие определенное комплексное число w: z w, тогда говорят, что на E задана функция комплексной переменной

Множество M - значений соответствующих w- множество значений f(z). Задание f(z) есть задание соответствия (отображения) E

Примеры. а) w=az+b (поворот, растяжение и параллельный перенос),
б)w=zⁿ, в) w=1/z (симметричное отражение относительно вещественной оси, инверсия).
Структура множеств E и M может быть весьма разнообразной. Мы будем рассматривать случаи, когда E и M- области на комплексной плоскости.
Понятие области комплексной плоскости - это то же самое, что и понятие области плоскости (x,y).
Определение.Областью g комплексной плоскости Z называется множество точек этой плоскости, удовлетворяющее условиям:
1)Все zО g являются внутренними точками g.
2)Любые z₁, z₂ О g можно соединить ломаной с конечным числом звеньев, состоящих только из zО g.
Примеры. а) |z|<1 - область; б) |z| 1-не область; в) {z: |z|<1}И {z: |z-5i|<1} не область;
Напомним понятие внутренней точки.
Определение. Точка z₀ называется внутренней точкой множества g, если $ e -окрестность точки z₀ : пz-z₀п<e все точки которой принадлежат g.
Примеры. а) z=0 - внутренняя точка множества |z|<1; б) z=i - не является внутренней точкой множества |z| 1.
Таким образом, в определении области условие
1) означает, что g- открытое множество.
2) означает, что g- связное множество.
Итак, область- открытое связное множество.

Определение.Точка z₀ называется граничной точкой множества g, если в " ее e -окрестности имеются как zО g, так и zП g.
Примеры. а) z=0 - граничная точка множества |z|>0; б) z=i - граничная точка множества |z| 1.
Совокупность граничных точек области g называется границей области g. (обозначения: , C, G , S и т.д.)
Граница множества может состоять из конечного числа точек, и даже из одной точки (как, например, у множества |z|>0).
Определение. Замыкание области g, состоящее в присоединении к g ее границы g называется замкнутой областью=g+.
Множество |z| 1 - замкнутое.
На расширенной комплексной плоскости (т.е. комплексной плоскости с бесконечно удаленной точкой замкнутое множество называется компактным.
Итак, будем рассматривать случай, когда w=f(z) задана в g и отображает g на область D комплексной плоскости w.
Отображение однозначно (по определению.
Если z₁, z₂ О g и z₁z₂ : f(z₁)=w₁w₂= f(z₂), то отображение взаимно однозначно
g<=>D.
В этом случае g называется областью однолистности f(z) и f(z) называется однолистной в g.
Примеры. а) w=const, w=az+b -однозначные и однолистные; б) w=zⁿ , w=e^z- однозначные, но не однолистные; в) w=Ln z╨ |z|+i Arg(z), w=- не однозначный функции.
При g<=> D в D $ обратная функция z=j (w), осуществляющая отображение D g.
Если отображение gD однозначно, но не однолистно, то можно говорить об обратной функции, но она не будет однозначной. Об этом позже.
При z=x+iy, f(z)=w=u+iv=u(x,y)+iv(x,y). Тем самым задание f(z) в g комплексной плоскости z есть одновременное задание двух действительных функций двух действительных переменных в области g плоскости (x,y). Поэтому свойства функций комплексной переменной во многом определяются свойствами функции двух действительных переменных.

Назад

Вверх

Вперед